Desigualdad de Bessel

noviembre 04, 2020

En matemáticas, especialmente en análisis funcional, la desigualdad de bessel es una proposición acerca de los coeficientes de un elemento $x$ en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal.

Sea $H$ un espacio de hilbert, suponga que $e 1, e 2,...$ es una secuencia ortonormal en $H$ . Entonces, para todo $x$ en $H$ se tiene que

$\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2$

donde <·,·> denota el producto interior en el espacio de hilbert $H$ , Si nosotros definimos la suma infinita

$x' = \sum_{k=1}^{\infty}\left\langle x,e_k\right\rangle e_k,$

La desigualdad de bessel nos dice que esta serie matemática converge.

Para una secuencia ortonormal completa (esto es, para una secuencia ortonormal que a la vez en una base ortonormal de $H$ ), nosotros tenemos la identidad de Parseval, que remplaza la desigualdad por una igualdad (y consecuentemente $x'$ con $x$ ).

En Álgebra lineal la Desigualdad de Bessel estipula que dado un espacio vectorial V con producto interior definido, dada $β = {β 1,β 2,...,β n}$ una subconjunto ortonormal de V. Se cumple que para todo x en V:

$\lVert x \lVert ^{2}\geq\sum_{n=1}^{n} \|\langle x,\beta_{i}\rangle \|^{2}$